BCH

バイナリBCH符号の核心である「なぜ特定の根をセットで扱うのか」と「なぜ係数が0か1になるのか」について解説します。

1. なぜ $\alpha, \alpha^2, \alpha^4$α,α2,α4 はセットなのか？（共役元）

バイナリ体（特性2の体）において、ある多項式 $f(x)$f(x)の係数が $0$0か $1$1であるとき非常に特殊な性質が成り立ちます。

フロベニウス写像 (Frobenius Endomorphism)

特性 $p$pの体において

$(a + b)^p = a^p + b^p$(a+b)p=ap+bp

が成り立ちます。バイナリ体（$p=2$p=2）では、これを**「1年生の夢 (Freshman's Dream)」**と呼びます。

この性質により、もし $\beta$βが $f(x)=0$f(x)=0の根ならばその $2$2乗である $\beta^2$β2も根になります。

これを繰り返すと、$\alpha^1$α1を根に持つためには自動的に以下の「共役元（Conjugate elements）」のセットをすべて根に持たなければなりません。

$$\alpha \rightarrow \alpha^2 \rightarrow \alpha^4 \rightarrow \alpha^8$$α→α2→α4→α8

ここで今回の符号長 $n=7$n=7なので、$\alpha^7 = 1$α7=1です。したがって $\alpha^8 = \alpha^1$α8=α1となりループが閉じます。

結果として**$\{\alpha, \alpha^2, \alpha^4\}${α,α2,α4}** という集合（これを共役類と呼びます）が導き出されます。

2. 具体的な計算：係数が 0, 1 になる仕組み

実際に

$(x - \alpha)(x - \alpha^2)(x - \alpha^4)$(x−α)(x−α2)(x−α4)

を展開して係数がどうなるか見てみましょう。

展開ステップ

まず

$(x - \alpha)(x - \alpha^2)$(x−α)(x−α2)

を計算します。

$$(x - \alpha)(x - \alpha^2) = x^2-(\alpha+\alpha^2)x+\alpha^3$$(x−α)(x−α2)=x2−(α+α2)x+α3

次にこれに $(x-\alpha^4)$(x−α4)を掛けます。

$$(x^2-(\alpha+\alpha^2)x+\alpha^3)(x-\alpha^4)$$(x2−(α+α2)x+α3)(x−α4)

整理すると：

$$x^3 -(\alpha+\alpha^2+\alpha^4)x^2 +(\alpha^3+\alpha^5+\alpha^6)x -\alpha^7$$x3−(α+α2+α4)x2+(α3+α5+α6)x−α7

（※ $GF(2)$GF(2)では $-1 = 1$−1=1であり、$\alpha^7 = 1$α7=1です）

有限体の値の代入

ここで、$GF(2^3)$GF(23)の定義（原始多項式 $x^3 + x + 1 = 0 \Rightarrow \alpha^3 = \alpha + 1$x3+x+1=0⇒α3=α+1）を使って各係数を計算します。

1. $x^2$x2 の係数: $\alpha^4 + \alpha^2 + \alpha$α4+α2+α

   • $\alpha^3=\alpha+1$α3=α+1
   • $\alpha^4=\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha$α4=α(α+1)=α2+α

   代入：

   $$(\alpha^2+\alpha)+\alpha^2+\alpha = 2\alpha^2+2\alpha = \mathbf{0}$$(α2+α)+α2+α=2α2+2α=0

2. $x^1$x1 の係数: $\alpha^6 + \alpha^5 + \alpha^3$α6+α5+α3

   • $\alpha^3=\alpha+1$α3=α+1
   • $\alpha^5=\alpha^2+\alpha+1$α5=α2+α+1
   • $\alpha^6=\alpha^2+1$α6=α2+1

   代入：

   $$(\alpha^2+1) + (\alpha^2+\alpha+1) + (\alpha+1) = 2\alpha^2+2\alpha+3 \equiv \mathbf{1} \pmod 2$$(α2+1)+(α2+α+1)+(α+1)=2α2+2α+3≡1(mod2)

結果

$$(x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^4) = x^3+x+1$$(x−α)(x−α2)(x−α4)=x3+x+1

見事に係数が $0$0と $1$1だけになり、最初に定義した原始多項式と一致しました。